ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 625 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64}\);
б) \(\frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1}\).

а)
\[
\frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64} = \frac{(x — 8)(x — 3)}{(x — 8)(x + 8)} = \frac{x — 3}{x + 8}
\]
\(x^2 — 11x + 24 = 0\)
\(D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 — 96 = 25 > 0\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_1 = \frac{11 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8\)
\(x_2 = \frac{11 — 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(x^2 — 11x + 24 = (x — 8)(x — 3)\)

б)
\[
\frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1} = \frac{(2y — 1)(y + 5)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{y + 5}{2y + 1}
\]
\(2y^2 + 9y — 5 = 0\)
\(D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 > 0\)
\(\sqrt{D} = 11\)
\(y_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5\)
\(y_2 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5\)
\(2y^2 + 9y — 5 = 2(y + 5)(y — 0.5) = (y + 5)(2y — 1)\)

а) Упростить дробь:

\[
\frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64}
\]

Рассмотрим числитель: \(x^2 — 11x + 24\).

Найдем корни квадратного уравнения:

• Дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 — 96 = 25\).
• \(\sqrt{D} = 5\).
• \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2} = 8\).
• \(x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 — 5}{2} = 3\).

Разложим числитель на множители:

\(x^2 — 11x + 24 = (x — 8)(x — 3)\).

Рассмотрим знаменатель: \(x^2 — 64\).

Это разность квадратов:

\(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\).

Подставим в дробь:

\[
\frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64} = \frac{(x — 8)(x — 3)}{(x — 8)(x + 8)}.
\]

Сократим на \((x — 8)\):

\[
\frac{x — 3}{x + 8}.
\]

б) Упростить дробь:

\[
\frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1}
\]

Рассмотрим числитель: \(2y^2 + 9y — 5\).

Найдем корни квадратного уравнения:

• Дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\).
• \(\sqrt{D} = 11\).
• \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{4} = 0.5\).
• \(y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 — 11}{4} = -5\).

Разложим числитель на множители:

\(2y^2 + 9y — 5 = 2(y + 5)(y — 0.5)\).

Рассмотрим знаменатель: \(4y^2 — 1\).

Это разность квадратов:

\(4y^2 — 1 = (2y — 1)(2y + 1)\).

Подставим в дробь:

\[
\frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1} = \frac{2(y + 5)(y — 0.5)}{(2y — 1)(2y + 1)}.
\]

Сократим на \((2y — 1)\):

\[
\frac{y + 5}{2y + 1}.
\]