ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 568 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Пусть всего x обезьян, тогда \((\frac{1}{5}x — 3)^2\) спрятались в гроте. Ещё 1 была видна на дереве. Составим и решим уравнение:

\[
\left(\frac{1}{5}x — 3\right)^2 + 1 = x
\]

\[
\frac{1}{25}x^2 — \frac{6}{5}x + 9 + 1 = 0
\]

\[
\frac{1}{25}x^2 — \frac{11}{5}x + 10 = 0 \quad | \cdot 25
\]

\[
x^2 — 55x + 250 = 0
\]

\(D = b^2 — 4ac = (-55)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 250 = 3025 — 1000 = 2025 > 0\)
\(\sqrt{D} = 45\)

\[
x_1 = \frac{55 + 45}{2} = \frac{100}{2} = 50
\]

\[
x_2 = \frac{55 — 45}{2} = \frac{10}{2} =\]

\[5 \; \text{— не подходит по условию, т.к. } \frac{1}{5}x — 3 > 0, \; \text{значит } x > 15.
\]

Ответ: 50 обезьян.

Условие: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Ещё одна обезьяна была видна на дереве. Найти общее количество обезьян.

Решение:

Обозначим общее количество обезьян за x. Тогда:

(¹/₅x — 3)² + 1 = x

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(¹/₅x — 3)² = (¹/₅x)² — 2 · (¹/₅x) · 3 + 3²

(¹/₅x)² — (⁶/₅)x + 9 + 1 = x

Умножим обе части уравнения на 25, чтобы избавиться от дробей:

x² — 55x + 250 = 0

Решение квадратного уравнения:

Квадратное уравнение имеет вид:

ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = -55, c = 250

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-55)² — 4 · 1 · 250 = 3025 — 1000 = 2025

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

x₁ = (-b + √D) / 2a = (55 + 45) / 2 = 50

x₂ = (-b — √D) / 2a = (55 — 45) / 2 = 5

Проверка:

Корень x = 5 не подходит, так как:

(¹/₅x — 3) ≤ 0 при x = 5

Поэтому единственный подходящий корень: x = 50.

Ответ:

Всего обезьян: 50.