ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 492 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
a) \(\frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5};\)
б) \(\frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}}.\)

Краткий ответ:

a)
\[
\frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5} = \frac{3\sqrt{2} + 5}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)} — \frac{3\sqrt{2} — 5}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)} =
\]
\[
= \frac{3\sqrt{2} + 5 — (3\sqrt{2} — 5)}{18 — 25} = \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7}.
\]
Рациональное число.

б)
\[
\frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} = \frac{7 — 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} + \frac{7 + 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} =
\]
\[
= \frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{49 — 24} = \frac{14}{25} = 0.56.
\]
Рациональное число.

Подробный ответ:

a) Решение:

Данное выражение:

\(\frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5}\).

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5} =
\frac{3\sqrt{2} + 5}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)} —
\frac{3\sqrt{2} — 5}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)}.
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{3\sqrt{2} + 5 — (3\sqrt{2} — 5)}{18 — 25} =
\frac{3\sqrt{2} + 5 — 3\sqrt{2} + 5}{-7}.
\]

Сложим числитель:

\[
\frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7}.
\]

Ответ: рациональное число.

б) Решение:

Данное выражение:

\(\frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}}\).

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} =
\frac{7 — 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} +
\frac{7 + 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})}.
\]

Найдем знаменатель:

\[
(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6}) = 7^2 — (2\sqrt{6})^2 = 49 — 24 = 25.
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{25} = \frac{14}{25}.
\]

Переведем в десятичную дробь:

\[
\frac{14}{25} = 0.56.
\]

Ответ: рациональное число.

Оцени решение