ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 481 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном \( n \) значение выражения

\[
\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}
\]

является натуральным числом?

1) Выберите произвольное значение \( n \) и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении \( n(n+1)(n+2)(n+3) \), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

1. Шаг 1:
\[
\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} = \sqrt{(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1}.
\]

2. Шаг 2:
Пусть \( x = n^2 + 3n \). Тогда:
\[
\sqrt{(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1} = \sqrt{x(x+2)+1} = \sqrt{(x+1)^2} = x+1.
\]

3. Шаг 3:
Возвращаем \( x = n^2 + 3n \):
\[
x+1 = n^2 + 3n + 1 \in \mathbb{N}.
\]

4. Пример:
Для \( n = 5 \):
\[
\sqrt{5(5+1)(5+2)(5+3)+1} = \sqrt{1681} = 41.
\]

Вывод: Верно для любого \( n \in \mathbb{N} \).

Нам нужно доказать, что выражение:

√(n(n+1)(n+2)(n+3) + 1)

является натуральным числом при любом натуральном \( n \).

Шаг 1: Преобразование выражения

Рассмотрим подкоренное выражение:n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

Сгруппируем множители следующим образом:n(n+3) и (n+1)(n+2).

Тогда:n(n+3) = n² + 3n,(n+1)(n+2) = n² + 3n + 2.

Подставим это в выражение:√((n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1).

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:x = n² + 3n.

Тогда выражение примет вид:

√(x(x+2) + 1).

Раскроем скобки:x(x+2) + 1 = x² + 2x + 1.

Заметим, что это полный квадрат:x² + 2x + 1 = (x+1)².

Следовательно:√(x² + 2x + 1) = x + 1.

Шаг 3: Возвращение к переменной n

Так как \( x = n² + 3n \), то:x + 1 = n² + 3n + 1.

Это натуральное число при любом натуральном \( n \).

Шаг 4: Проверка на примере

Пусть \( n = 5 \).

Тогда:√(n(n+1)(n+2)(n+3) + 1) = √(5(5+1)(5+2)(5+3) + 1).

Вычислим:5(5+1)(5+2)(5+3) = 5 × 6 × 7 × 8 = 1680.

Добавим 1:1680 + 1 = 1681.

Корень из 1681 равен:

√1681 = 41.

Ответ верен.

Вывод:При любом натуральном \( n \) значение выражения:√(n(n+1)(n+2)(n+3) + 1)является натуральным числом.