ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3}\);

б) \(\frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8}\);

в) \(\frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2}\);

г) \(\frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} — \frac{2y — y^2}{y^2 — x^2}\).

а) \(\frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3} = \frac{x^2 — 2x — (4x — 9)}{x — 3} = \frac{x^2 — 2x — 4x + 9}{x — 3} = \frac{(x — 3)(x — 3)}{x — 3} = x — 3\)

б) \(\frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8} = \frac{y^2 — 10 — 54}{y — 8} = \frac{y^2 — 64}{y — 8} = \frac{(y — 8)(y + 8)}{y — 8} = y + 8\)

в) \(\frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2} = \frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{-(a^2 — b^2)} = \frac{a^2 — b^2}{a^2 — b^2} = 1\)

г) \(\frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} + \frac{2y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{x^2 — 2x + 2y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)(x + y) — 2(x — y)}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)(x + y — 2)}{x^2 — y^2} = \frac{x + y — 2}{x + y}\)

а) \(\frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3}\)

Общий знаменатель: \(x — 3\).

\[
\frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3} = \frac{x^2 — 2x — (4x — 9)}{x — 3}
\]

Раскрываем скобки:
\[
= \frac{x^2 — 2x — 4x + 9}{x — 3}
\]

Приводим подобные:
\[
= \frac{x^2 — 6x + 9}{x — 3}
\]

Замечаем квадрат разности:
\[
= \frac{(x — 3)^2}{x — 3} = x — 3
\]

б) \(\frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8}\)

Общий знаменатель: \(y — 8\).

\[
\frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8} = \frac{y^2 — 10 — 54}{y — 8}
\]

Приводим подобные:
\[
= \frac{y^2 — 64}{y — 8}
\]

Замечаем разность квадратов:
\[
= \frac{(y — 8)(y + 8)}{y — 8} = y + 8
\]

в) \(\frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2}\)

Учтём, что \(b^2 — a^2 = -(a^2 — b^2)\).

\[
\frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{-(a^2 — b^2)} = \frac{a^2 — b^2}{a^2 — b^2}
\]

Упрощаем:
\[
= 1
\]

г) \(\frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} + \frac{2y — y^2}{x^2 — y^2}\)

Общий знаменатель: \(x^2 — y^2\).

\[
\frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} + \frac{2y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{x^2 — 2x + 2y — y^2}{x^2 — y^2}
\]

Замечаем, что \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).

\[
= \frac{(x — y)(x + y) — 2(x — y)}{x^2 — y^2}
\]

Выносим общий множитель:
\[
= \frac{(x — y)(x + y — 2)}{x^2 — y^2}
\]

Упрощаем:
\[
= \frac{x + y — 2}{x + y}
\]