ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1328 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений
\[
\begin{cases}
xy = -2, \\
(x — y)^2 + x + y = 10.
\end{cases}
\]

\((2, -1)\)

\((-1, 2)\)

\((-1 + \sqrt{3}, -1 — \sqrt{3})\)

\((-1 — \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})\)

Дана система уравнений:

(1) \(xy = -2\),
(2) \((x — y)^2 + x + y = 10\).

Шаги решения

Из второго уравнения раскроем скобки:
\[
(x — y)^2 + x + y = x^2 — 2xy + y^2 + x + y = 10.
\]
Подставим \(xy = -2\) в выражение:
\[
x^2 + y^2 — 2(-2) + x + y = 10.
\]
Упростим:
\[
x^2 + y^2 + 4 + x + y = 10.
\]
Сократив, получаем:
\[
x^2 + y^2 + x + y = 6.
\]

Введем замену: \(p = x + y\), \(q = xy = -2\). Тогда:
\[
x^2 + y^2 = p^2 — 2q.
\]
Подставим \(q = -2\):
\[
x^2 + y^2 = p^2 — 2(-2) = p^2 + 4.
\]
Уравнение принимает вид:
\[
p^2 + 4 + p = 6.
\]
Упростим:
\[
p^2 + p — 2 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение:
\[
p^2 + p — 2 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\]
Корни:
\[
p_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1, \quad p_2 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2.
\]

Рассмотрим каждый случай:

Если \(p = 1\): \(x + y = 1\), \(xy = -2\). Решим квадратное уравнение:
\[
t^2 — t — 2 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\]
Корни:
\[
t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{1 — 3}{2} = -1.
\]
Тогда пары \((x, y)\): \((2, -1)\), \((-1, 2)\).

Если \(p = -2\): \(x + y = -2\), \(xy = -2\). Решим квадратное уравнение:
\[
t^2 + 2t — 2 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\]
Корни:
\[
t_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2} = -1 + \sqrt{3}, \quad t_2 = \frac{-2 — \sqrt{12}}{2} = -1 — \sqrt{3}.
\]
Тогда пары \((x, y)\): \((-1 + \sqrt{3}, -1 — \sqrt{3})\), \((-1 — \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})\).

Ответ

Решения системы уравнений:

\((2, -1)\), \((-1, 2)\), \((-1 + \sqrt{3}, -1 — \sqrt{3})\), \((-1 — \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})\).