ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1327 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0, \\
x^2 — 5xy + y = -11
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
6x^2 + 2xy — 3x — y = 0, \\
2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}
\end{cases}
\]

а)

Ответ: (1²/₉; 2²/₉), (-1; -2).

б)

Ответ: \( (0.5; 0), (0.5; 1) \).

Задача а)

Дана система:

\[
\begin{cases}
7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0, \\
x^2 — 5xy + y = -11
\end{cases}
\]

1. Рассмотрим первое уравнение. Это квадратное уравнение относительно \( x \):

\( 2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = (7y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4y^2) = 49y^2 + 32y^2 = 81y^2 \).

\( D > 0 \), следовательно, уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-7y + 9y}{2 \cdot 2} = \frac{y}{2} \),

\( x_2 = \frac{-7y — 9y}{2 \cdot 2} = -4y \).

2. Подставим каждый корень во второе уравнение:

Для \( x = \frac{y}{2} \):

\( \left( \frac{y}{2} \right)^2 — 5 \cdot \frac{y}{2} \cdot y + y = -11 \).

Приводим к общему виду и решаем:

\( \frac{y^2}{4} — \frac{5y^2}{2} + y + 11 = 0 \).

Решения: \( x = \frac{16}{9}, y = \frac{26}{9} \).

Для \( x = -4y \):

\( (-4y)^2 — 5 \cdot (-4y) \cdot y + y = -11 \).

\( 16y^2 + 20y^2 + y + 11 = 0 \).

Решения: \( x = -1, y = -2 \).

Ответ: (1²/₉; 2²/₉), (-1; -2).

Задача б)

Дана система:

\[
\begin{cases}
6x^2 + 2xy — 3x — y = 0, \\
2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}
\end{cases}
\]

1. Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем его:

\( (3x + y)(2x — 1) = 0 \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( 3x + y = 0 \).

Подставляем \( y = -3x \) во второе уравнение:

\( 2x^2 — (-3x)^2 + 2x — 3x = \frac{3}{2} \).

\( 2x^2 — 9x^2 — x = \frac{3}{2} \).

Дискриминант \( D = -41 < 0 \). Решений нет.

Случай 2: \( 2x — 1 = 0 \).

\( x = \frac{1}{2} \). Подставляем во второе уравнение:

\( 2\left( \frac{1}{2} \right)^2 — y^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + y = \frac{3}{2} \).

\( \frac{1}{2} — y^2 + 1 + y = \frac{3}{2} \).

\( -y^2 + y = 0 \Rightarrow y(y — 1) = 0 \).

Решения: \( y = 0 \) или \( y = 1 \).

Ответ: \( (0.5; 0), (0.5; 1) \).