Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1326 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите решения системы уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
x^2 — 3y^2 — y = -6, \\
2x^2 — 3y^2 = -4;
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
2x^2 + xy = 16, \\
3x^2 + xy — x = 18.
\end{cases}
\]
а)
\[
\left(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{1}{3}\right), (2; -2), (-2; -2)
\]
б)
\[
(2; 4), (-1; -14)
\]
Задача а)
Рассмотрим систему:
\[
\begin{cases}
x^2 — 3y^2 — y = -6, \\
2x^2 — 3y^2 = -4
\end{cases}
\]
Из первого уравнения выразим \(x^2\):
\(x^2 = -6 + 3y^2 + y\)
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(2(-6 + 3y^2 + y) — 3y^2 = -4\)
\(-12 + 6y^2 + 2y — 3y^2 = -4\)
\(3y^2 + 2y — 8 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\)
\(\sqrt{D} = 10\)
\(y_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad y_2 = \frac{-2 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2\)
Найдём \(x\) для каждого значения \(y\):
- При \(y = \frac{4}{3}\):
\(x^2 = -6 + 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{4}{3}\)
\(x^2 = -6 + 3 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} = -6 + \frac{48}{9} + \frac{12}{9} = -6 + \frac{60}{9} = \frac{2}{3}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)
- При \(y = -2\):
\(x^2 = -6 + 3 \cdot (-2)^2 — 2 = -6 + 12 — 2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
Ответ: \((\pm \sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{1}{3}), (\pm 2; -2)\)
Задача б)
Рассмотрим систему:
\[
\begin{cases}
2x^2 + xy = 16, \\
3x^2 + xy — x = 18
\end{cases}
\]
Из первого уравнения выразим \(xy\):
\(xy = 16 — 2x^2\)
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(3x^2 + (16 — 2x^2) — x = 18\)
\(x^2 — x — 2 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
\(\sqrt{D} = 3\)
\(x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = 2, \quad x_2 = \frac{-(-1) — 3}{2 \cdot 1} = -1\)
Найдём \(y\) для каждого значения \(x\):
- При \(x = 2\):
\(2y = 16 — 2 \cdot 4 = 16 — 8 = 8\)
\(y = 4\)
- При \(x = -1\):
\(-y = 16 — 2 \cdot 1 = 16 — 2 = 14\)
\(y = -14\)
Ответ: \((2; 4), (-1; -14)\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.