ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1318 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Краткий ответ:

Пусть отмечено \(x\) точек, тогда проведено прямых \(\frac{x(x — 1)}{2}\). Составим и решим уравнение:
\[
\frac{x(x — 1)}{2} = 45
\]

\[
x(x — 1) = 90
\]

\[
x^2 — x — 90 = 0
\]

\[
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = 19
\]

\[
x_1 = \frac{1 + 19}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{1 — 19}{2} = -9 \, (< 0)
\]

Ответ: 10 точек.

Подробный ответ:

На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Всего проведено 45 прямых. Сколько точек отмечено на плоскости?

Решение

Обозначим количество точек за x. Количество прямых, которые можно провести через любые две точки, рассчитывается по формуле:

Количество прямых = C(x, 2) = \(\frac{x(x-1)}{2}\)

По условию задачи, известно, что всего проведено 45 прямых. Тогда уравнение примет вид:

\(\frac{x(x-1)}{2} = 45\)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\(x(x — 1) = 90\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

\(x^2 — x — 90 = 0\)

Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант для нахождения корней:

\(D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-90)\)

Вычислим дискриминант:

\(D = 1 + 360 = 361\)

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 19}{2} = 10\)

\(x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 19}{2} = -9\)

Отрицательный корень не подходит, так как количество точек не может быть отрицательным. Тогда:

\(x = 10\)

Ответ

На плоскости отмечено 10 точек.

Оцени решение