ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1317 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что если числа \(a\), \(b\) и \(c\) таковы, что \(a + b \neq 0\), \(b + c \neq 0\), \(c + a \neq 0\), то при
\[x = \frac{a — b}{a + b}, \, y = \frac{b — c}{b + c}, \, z = \frac{c — a}{c + a}\]
верно равенство
\[(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 — x)(1 — y)(1 — z).\]

Краткий ответ:

\[x = \frac{a-b}{a+b}, \, y = \frac{b-c}{b+c}, \, z = \frac{c-a}{c+a}\]

Доказать: \((1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 — x)(1 — y)(1 — z)\)

1) \((1 + \frac{a-b}{a+b})(1 + \frac{b-c}{b+c})(1 + \frac{c-a}{c+a}) = \frac{a+b+a-b}{a+b} \cdot \frac{b+c+b-c}{b+c} \cdot \frac{c+a+c-a}{c+a}\)
\[= \frac{2a}{a+b} \cdot \frac{2b}{b+c} \cdot \frac{2c}{c+a} = \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\]

2) \((1 — \frac{a-b}{a+b})(1 — \frac{b-c}{b+c})(1 — \frac{c-a}{c+a}) = \frac{a+b-a+b}{a+b} \cdot \frac{b+c-b+c}{b+c} \cdot \frac{c+a-c+a}{c+a}\)
\[= \frac{2b}{a+b} \cdot \frac{2c}{b+c} \cdot \frac{2a}{c+a} = \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\]

3) \(\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Подробный ответ:

Шаг 1: Выражение левой части

Рассмотрим левую часть выражения:

(1 + x)(1 + y)(1 + z)

Подставляем значения x, y и z:

(1 + (a — b) / (a + b)) (1 + (b — c) / (b + c)) (1 + (c — a) / (c + a))

Приводим каждую скобку к общему знаменателю:

= [(a + b + a — b) / (a + b)] [(b + c + b — c) / (b + c)] [(c + a + c — a) / (c + a)]

Сокращаем числители:

= [2a / (a + b)] [2b / (b + c)] [2c / (c + a)]

Перемножаем дроби:

= 8abc / [(a + b)(b + c)(c + a)]

Шаг 2: Выражение правой части

Рассмотрим правую часть выражения:

(1 — x)(1 — y)(1 — z)

Подставляем значения x, y и z:

(1 — (a — b) / (a + b)) (1 — (b — c) / (b + c)) (1 — (c — a) / (c + a))

Приводим каждую скобку к общему знаменателю:

= [(a + b — a + b) / (a + b)] [(b + c — b + c) / (b + c)] [(c + a — c + a) / (c + a)]

Сокращаем числители:

= [2b / (a + b)] [2c / (b + c)] [2a / (c + a)]

Перемножаем дроби:

= 8abc / [(a + b)(b + c)(c + a)]

Шаг 3: Сравнение левой и правой частей

Левая часть равна:

8abc / [(a + b)(b + c)(c + a)]

Правая часть равна:

8abc / [(a + b)(b + c)(c + a)]

Таким образом, левая и правая части равны:

(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 — x)(1 — y)(1 — z)

Ответ:

Равенство доказано.

Оцени решение