Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1291 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите наименьшее значение выражения \((a — 1)(a — 2)(a — 5)(a — 6) + 9\).
\[
(a — 1)(a — 2)(a — 5)(a — 6) + 9 =\]
\[(a^2 — 6a — a + 6)(a^2 — 5a — 2a + 10) + 9 =\]
\[(a^2 — 7a + 6)(a^2 — 7a + 10) + 9.
\]
Пусть \(a^2 — 7a = x\).
\[
(x + 6)(x + 10) + 9 = x^2 + 10x + 6x + 60 + 9 =\]
\[x^2 + 16x + 69 = x^2 + 16x + 64 + 5 = (x + 8)^2 + 5.
\]
Наименьшее значение равно 5 при \(x + 8 = 0\).
Обратная замена:
\[
x + 8 = a^2 — 7a + 8.
\]
\[
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 — 32 = 17 > 0.
\]
\[
\sqrt{D} = \sqrt{17}.
\]
\[
a_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \quad a_2 = \frac{7 — \sqrt{17}}{2}.
\]
Ответ:
\[
\frac{7 — \sqrt{17}}{2}, \quad \frac{7 + \sqrt{17}}{2}.
\]
Найти наименьшее значение выражения:
Решение
- Раскроем скобки. Представим выражение в виде произведения двух квадратных многочленов:(a — 1)(a — 2)(a — 5)(a — 6) + 9 = (a² — 6a + 6)(a² — 7a + 10) + 9
- Обозначим x = a² — 7a. Тогда выражение упрощается:(x + 6)(x + 10) + 9
- Раскроем скобки:(x + 6)(x + 10) + 9 = x² + 10x + 6x + 60 + 9 = x² + 16x + 69
- Приведём выражение к удобному виду:x² + 16x + 69 = x² + 16x + 64 + 5 = (x + 8)² + 5
- Наименьшее значение квадрата достигается при (x + 8)² = 0, то есть при x = -8. Подставляем:(x + 8)² + 5 = 0 + 5 = 5
- Вернёмся к обратной замене: x = a² — 7a. Подставим:a² — 7a + 8 = 0
- Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:D = b² — 4ac = (-7)² — 4 × 1 × 8 = 49 — 32 = 17
- Корни уравнения:a₁ = (7 + √17) / 2, a₂ = (7 — √17) / 2
Ответ
Наименьшее значение выражения равно 5, которое достигается при:
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.