ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1290 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение \((x^2 — a^2)^2 = 4ax + 1\) относительно \(x\).

\[
(x^2 — a^2)^2 = 4ax + 1
\]
\[
(x — a)^2 (x + a)^2 = 2ax + 2ax + 1 + a^2 + x^2 — a^2 — x^2
\]
\[
(x — a)^2 (x + a)^2 = (x + a)^2 — (x — a)^2 + 1
\]
\[
(x — a)^2 ((x + a)^2 + 1) = 1 + (x + a)^2
\]
\[
(x — a)^2 = \frac{1 + (x + a)^2}{(x + a)^2 + 1}
\]
\[
(x — a)^2 = 1
\]
\[
x — a = 1 \quad \text{или} \quad x — a = -1
\]
\[
x = 1 + a \quad \text{или} \quad x = -1 + a
\]

Ответ: \(a + 1, a — 1\).

Дано уравнение:

(x² — a²)² = 4ax + 1

Шаг 1: Разложение на множители

Используем формулу разности квадратов:
(x² — a²) = (x — a)(x + a). Тогда:
((x — a)(x + a))² = 4ax + 1.

Шаг 2: Упрощение выражения

Раскрываем квадрат произведения:
(x — a)²(x + a)² = 4ax + 1.

Шаг 3: Перенос членов

Преобразуем выражение:
(x — a)²(x + a)² = (x + a)² — (x — a)² + 1.

Шаг 4: Приведение к удобному виду

Упростим выражение, добавляя и вычитая одинаковые множители:
(x — a)²((x + a)² + 1) = 1 + (x + a)².

Шаг 5: Решение для (x — a)²

Разделим обе части на (x + a)² + 1:
(x — a)² = 1.

Шаг 6: Нахождение корней

Решаем уравнение (x — a)² = 1:
x — a = ±1.

Получаем два решения:
x = 1 + a и x = -1 + a.

Ответ

Корни уравнения: a + 1 и a — 1.