ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1286 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению \(x^2 — y^2 = 69\).
x² + y² = 69
(x — y)(x + y) = 69
69 = 1 ⋅ 69 = 3 ⋅ 23 = 23 ⋅ 3 = 69 ⋅ 1
1)
\[
\begin{cases}
x — y = 1 \\
x + y = 69
\end{cases}
\]
Решение:
\[
\begin{cases}
x = 35 \\
y = 34
\end{cases}
\]
2)
\[
\begin{cases}
x — y = 69 \\
x + y = 1
\end{cases}
\]
Не подходит по условию.
3)
\[
\begin{cases}
x — y = 3 \\
x + y = 23
\end{cases}
\]
Решение:
\[
\begin{cases}
x = 13 \\
y = 10
\end{cases}
\]
4)
\[
\begin{cases}
x — y = 23 \\
x + y = 3
\end{cases}
\]
Не подходит по условию.
Ответ: (35; 34) или (13; 10).
x² — y² = 69
Раскладываем уравнение на множители:
(x — y)(x + y) = 69
Представляем число 69 как произведение пар натуральных чисел:
- 69 = 1 ⋅ 69
- 69 = 3 ⋅ 23
- 69 = 23 ⋅ 3
- 69 = 69 ⋅ 1
Рассмотрим все случаи:
Случай 1:
x — y = 1, x + y = 69
Складываем уравнения:
2x = 70 → x = 35
Подставляем значение x в первое уравнение:
35 — y = 1 → y = 34
Решение: x = 35, y = 34
Случай 2:
x — y = 69, x + y = 1
Складываем уравнения:
2x = 70 → x = 35
Подставляем значение x в первое уравнение:
35 — y = 69 → y = -34
Решение не подходит, так как y не натуральное число.
Случай 3:
x — y = 3, x + y = 23
Складываем уравнения:
2x = 26 → x = 13
Подставляем значение x в первое уравнение:
13 — y = 3 → y = 10
Решение: x = 13, y = 10
Случай 4:
x — y = 23, x + y = 3
Складываем уравнения:
2x = 26 → x = 13
Подставляем значение x в первое уравнение:
13 — y = 23 → y = -10
Решение не подходит, так как y не натуральное число.
Ответ:
(35; 34) или (13; 10)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.