Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1271 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а)
\[
\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3};
\]
б)
\[
\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n}.
\]
a)
\[
\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3} = \frac{x^4 + 2a^2x^2 + a^4 — 2a^2x^2 + a^2x^2}{(x + a)(x^2 — ax + x^2)} =\]
\[\frac{(x^2 + a^2)^2 — a^2x^2}{(x + a)(x^2 — ax + x^2)}
\]
\[
= \frac{(x^2 + a^2 — ax)(x^2 + a^2 + ax)}{(x + a)(x^2 — ax + x^2)} = \frac{x^2 + a^2 + ax}{x + a}.
\]
б)
\[
\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n} = \frac{a^{n-1}(8a^3 + 1)}{a^n(16a^4 + 4a^2 + 1)} =\]
\[\frac{a^{-1}(2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)}{(4a^2 + 1)^2 — 4a^2}
\]
\[
= \frac{a^{-1}(2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)}{(4a^2 + 1 — 2a)(4a^2 + 1 + 2a)} = \frac{a^{-1}(2a + 1)}{4a^2 + 1 — 2a} = \frac{2a + 1}{4a^3 + a — 2a^2}.
\]
а) Упростить выражение:
Дано:
(x⁴ + a²x² + a⁴) / (x³ + a³)
Разложим числитель:
x⁴ + a²x² + a⁴ = x⁴ + 2a²x² + a⁴ - 2a²x² + a²x²
Группируем:
x⁴ + 2a²x² + a⁴ - a²x²
Представим числитель как разность квадратов:
(x² + a²)² - a²x²
Теперь раскладываем на множители:
(x² + a² - ax)(x² + a² + ax)
Знаменатель разложим:
x³ + a³ = (x + a)(x² - ax + x²)
Упростим дробь:
((x² + a² - ax)(x² + a² + ax)) / ((x + a)(x² - ax + x²))
Сокращаем одинаковые множители:
(x² + a² + ax) / (x + a)
Ответ: (x² + a² + ax) / (x + a)
б) Упростить выражение:
Дано:
(8aⁿ⁺² + aⁿ⁻¹) / (16aⁿ⁺⁴ + 4aⁿ⁺² + aⁿ)
Вынесем общий множитель из числителя:
8aⁿ⁺² + aⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹(8a³ + 1)
Вынесем общий множитель из знаменателя:
16aⁿ⁺⁴ + 4aⁿ⁺² + aⁿ = aⁿ(16a⁴ + 4a² + 1)
Упростим дробь:
(aⁿ⁻¹(8a³ + 1)) / (aⁿ(16a⁴ + 4a² + 1))
Это равно: a⁻¹(8a³ + 1) / (16a⁴ + 4a² + 1)
Разложим знаменатель как квадрат разности:
(16a⁴ + 4a² + 1) = (4a² + 1)² - 4a²
Представим знаменатель как произведение:
(4a² + 1 - 2a)(4a² + 1 + 2a)
Упростим дробь:
(a⁻¹(2a + 1)(4a² + 2a + 1)) / ((4a² + 1 - 2a)(4a² + 1 + 2a))
Сокращаем одинаковые множители:
(2a + 1) / (4a³ + a - 2a²)
Ответ: (2a + 1) / (4a³ + a - 2a²)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.