ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1264 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

\( nx^2 — 5x + 1 = 0 \)

Корни \( x_1 \) и \( x_2 \) связаны соотношением:

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13 \)

Найти \( n \).

Решение:

Разделим уравнение на \( n \):

\( x^2 — \frac{5}{n}x + \frac{1}{n} = 0 \)

По теореме Виета:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = \frac{5}{n} \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{n} \)

Выразим \( x_1^{-2} + x_2^{-2} \):

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2} \)

В числителе используем формулу квадрата суммы:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \)

Подставим значения из теоремы Виета:

\( x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{5}{n}\right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{n} \)

\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{n^2} — \frac{2}{n} \)

Подставим в выражение для \( x_1^{-2} + x_2^{-2} \):

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{\frac{25}{n^2} — \frac{2}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2} \)

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{25 — 2n}{\frac{1}{n^2}} \cdot n^2 \)

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = 25 — 2n \)

По условию задачи:

\( 25 — 2n = 13 \)

Решим уравнение:

\( -2n = 13 — 25 \)

\( -2n = -12 \)

\( n = 6 \)

Ответ:

\( n = 6 \)