Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1263 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных:
a)
\[
\frac{2^m \cdot 3^{n-1} — 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n};
\]
б)
\[
\frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^n — 2};
\]
в)
\[
\frac{5^m \cdot 4^n}{5^m — 2 \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}};
\]
г)
\[
\frac{21^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n}.
\]
a)
\[
\frac{2^m \cdot 3^{n-1} — 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^m \cdot 3^n (3^{-1} — 2^{-1})}{2^m \cdot 3^n} =\]
\[3^{-1} — 2^{-1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{2} = \frac{2}{6} — \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}.
\]
б)
\[
\frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^n — 2} =\]
\[\frac{2^{n-2} \cdot 5^{n-2} (5^3 + 2^1)}{2^{n-2} \cdot 5^{n-2}} = 5^3 + 2^1 = 125 + 2 = 127.
\]
в)
\[
\frac{5^m \cdot 4^n}{5^m — 2 \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}} =\]
\[\frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^m \cdot 2^{2n} (5^{-2} — m + 2^{2-1-2n})} =\]
\[\frac{1}{5^{-2} + 2^{-1}} = \frac{50}{27}.
\]
г)
\[
\frac{21^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n} =\]
\[\frac{3^n \cdot 7^n}{3^n \cdot 7^n (3^{-1} — 7^{-1} + 1)} = \frac{1}{3^{-1} — 7^{-1} + 1} =\]
\[\frac{1}{\frac{1}{3} — \frac{1}{7} + 1} = \frac{3}{10}.
\]
а)
Дано выражение:
\( 2^m \cdot 3^{n-1} — 2^{m-1} \cdot 3^n \)
Вынесем общий множитель \( 2^m \cdot 3^n \):
\( \frac{2^m \cdot 3^n (3^{-1} — 2^{-1})}{2^m \cdot 3^n} = 3^{-1} — 2^{-1} \)
Вычислим дроби:
\( 3^{-1} = \frac{1}{3}, \; 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{3} — \frac{1}{2} = \frac{2}{6} — \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \)
Ответ: \(-\frac{1}{6}\)
б)
Дано выражение:
\( \frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^{n-2}} \)
Вынесем общий множитель \( 2^{n-2} \cdot 5^{n-2} \):
\( \frac{2^{n-2} \cdot 5^{n-2} \cdot (5^{n+1-n+2} + 2^{n-1-n+2})}{2^{n-2} \cdot 5^{n-2}} \)
Сократим и упростим степени:
\( 5^3 + 2^1 = 125 + 2 = 127 \)
Ответ: \( 127 \)
в)
Дано выражение:
\( \frac{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^{m+2n-1}}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} (5^{m-2-m+2^{2n-1-2n}})} \)
Упростим числитель и знаменатель:
\( \frac{50}{27} \)
Преобразуем в смешанное число:
\( \frac{50}{27} = 1 \frac{23}{27} \)
Ответ: \( 1 \frac{23}{27} \)
г)
Дано выражение:
\( \frac{2^{1^n}}{3^{n-17n+1} + 3^{7n}} \)
Упростим знаменатель:
\( 3^{n-1-n7n+1-n+1} = 3^{-17+1+1} \)
\( \frac{1}{3^{1-17+1}} = \frac{3}{10} \)
Ответ: \( \frac{3}{10} \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.