ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1254 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x + y)^2}\);
б) \(\frac{ab^{-1} — a^{-1}b}{a^{-1} — b^{-1}}\).

a)
\[
x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}
\]

\[
\frac{1}{(x + y)^2} = \frac{x + y}{xy(x + y)^2} = \frac{1}{xy(x + y)}
\]

б)
\[
ab^{-1} — a^{-1}b = \frac{a}{b} — \frac{b}{a} = \frac{a^2 — b^2}{ab} = \frac{(a — b)(a + b)}{ab}
\]

\[
a^{-1} — b^{-1} = \frac{1}{a} — \frac{1}{b} = \frac{b — a}{ab}
\]

\[
\frac{ab^{-1} — a^{-1}b}{a^{-1} — b^{-1}} = \frac{\frac{(a — b)(a + b)}{ab}}{\frac{b — a}{ab}} = — (b — a)
\]

а) \( x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \)

1. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} \)

2. Рассмотрим второй шаг:

\( \frac{1}{(x + y)^2} \)

3. Выражаем это через общий знаменатель:

\( \frac{x + y}{xy(x + y)^2} = \frac{1}{xy(x + y)} \)

б) \( ab^{-1} — a^{-1}b = \frac{a}{b} — \frac{b}{a} \)

1. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{a}{b} — \frac{b}{a} = \frac{a^2 — b^2}{ab} = \frac{(a — b)(a + b)}{ab} \)

2. Рассмотрим выражение \( a^{-1} — b^{-1} \):

\( \frac{1}{a} — \frac{1}{b} = \frac{b — a}{ab} \)

3. Делим выражения:

\( \frac{ab^{-1} — a^{-1}b}{a^{-1} — b^{-1}} = \frac{\frac{(a — b)(a + b)}{ab}}{\frac{b — a}{ab}} = — (b — a) \)