ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1203 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.)
Зная, что \( t \) — целое число, сократите дробь:

а)
\[
\frac{25^t}{5^{2t-1}}
\]

б)
\[
\frac{6^t}{2^{t-1} \cdot 3^{t+1}}
\]

1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.
3. Исправьте ошибки, если они допущены.

а)
\[
\frac{25^m}{5^{2m-1}} = \frac{(5^2)^m}{5^{2m-1}} = \frac{5^{2m}}{5^{2m-1}} = 5^{2m — (2m-1)} = 5^1 = 5
\]

б)
\[
\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} = \frac{(2 \cdot 3)^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} = \frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} =\]

\[\frac{2^m}{2^{m-1}} \cdot \frac{3^m}{3^{m+1}} = 2^{m-(m-1)} \cdot 3^{m-(m+1)}
\]

\[
= 2^1 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

а) Упростить дробь:

\( \frac{25^m}{5^{2m-1}} \)

Преобразуем числитель: \( 25^m = (5^2)^m = 5^{2m} \).

Подставим в дробь: \( \frac{5^{2m}}{5^{2m-1}} \).

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} \).

Получаем: \( 5^{2m — (2m-1)} = 5^{2m — 2m + 1} = 5^1 = 5 \).

Ответ: 5

б) Упростить дробь:

\( \frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} \)

Разложим 6 в числителе: \( 6^m = (2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m \).

Подставим в дробь: \( \frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} \).

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2^m}{2^{m-1}} = 2^{m-(m-1)} = 2^1 = 2 \).

\( \frac{3^m}{3^{m+1}} = 3^{m-(m+1)} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \).

Перемножим полученные результаты: \( 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \(\frac{2}{3}\)