ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1198 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:
a) \(27 \cdot 3^{-4}\);
б) \((3^{-1})^5 \cdot 81^2\);
в) \(9^{-2} : 3^{-6}\);
г) \(81^3 : (9^{-2})^{-3}\).

a) \(27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\)

б) \((3^{-1})^5 \cdot 81^2 = 3^{-5} \cdot (3^4)^2 = 3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3 = 27\)

в) \(9^{-2} : 3^{-6} = (3^2)^{-2} : 3^{-6} = 3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 — (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2 = 9\)

г) \(81^3 : (9^{-2})^{-3} = (3^4)^3 : (3^2)^{-3} = 3^{12} : 3^6 = 3^{12-6} = 3^0 = 1\)

а) \(27 \cdot 3^{-4}\)

Преобразуем \(27\) в степень числа \(3\):
\(27 = 3^3\).
Теперь подставим в выражение:
\(27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}\).
По свойству степеней (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)):
\(3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3-4} = 3^{-1}\).
Преобразуем \(3^{-1}\) в дробь:
\(3^{-1} = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(\frac{1}{3}\).

б) \((3^{-1})^5 \cdot 81^2\)

Раскроем скобки:
\((3^{-1})^5 = 3^{-5}\).
Преобразуем \(81\) в степень числа \(3\):
\(81 = 3^4\), значит \(81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8\).
Теперь подставим в выражение:
\(3^{-5} \cdot 3^8\).
По свойству степеней:
\(3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3\).
Вычислим \(3^3\):
\(3^3 = 27\).
Ответ: \(27\).

в) \(9^{-2} : 3^{-6}\)

Преобразуем \(9\) в степень числа \(3\):
\(9 = 3^2\), значит \(9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}\).
Теперь подставим в выражение:
\(3^{-4} : 3^{-6}\).
По свойству деления степеней (\(a^m : a^n = a^{m-n}\)):
\(3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 — (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2\).
Вычислим \(3^2\):
\(3^2 = 9\).
Ответ: \(9\).

г) \(81^3 : (9^{-2})^{-3}\)

Преобразуем \(81\) и \(9\) в степени числа \(3\):
\(81 = 3^4\), значит \(81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}\);
\(9 = 3^2\), значит \(9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{-4}\), а \((9^{-2})^{-3} = (3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12}\).
Теперь подставим в выражение:
\(3^{12} : 3^{12}\).
По свойству деления степеней:
\(3^{12} : 3^{12} = 3^{12-12} = 3^0\).
Любое число в нулевой степени равно \(1\):
\(3^0 = 1\).
Ответ: \(1\).