ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1152 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что \( y = f(x) \) — возрастающая функция и \( a \) — некоторое число. Докажите, что уравнение \( f(x) = a \) имеет не более одного корня.

Доказательство от противного. Пусть уравнение \( f(x) = a \) имеет 2 корня \( x_1 \) и \( x_2 \), такие что \( x_1 < x_2 \). Тогда \( f(x_1) < f(x_2) \). Но \( f(x_1) = a \) и \( f(x_2) = a \). Получается, что \( f(x_1) = f(x_2) = a \), т.е. \( x_1 = x_2 \), значит предположение неверно.

Задача: доказать, что уравнение f(x) = a имеет не более одного корня, если f(x) — возрастающая функция.

Доказательство от противного

Предположим, что уравнение f(x) = a имеет два корня: x_1 и x_2, такие что x_1 < x_2.

Так как функция f(x) возрастает, то выполняется следующее:
f(x_1) < f(x_2).

Однако по условию:
f(x_1) = a и f(x_2) = a.

Получается, что одновременно выполняются два утверждения:

f(x_1) = f(x_2) = a

f(x_1) < f(x_2)

Это противоречие.

Следовательно, предположение о существовании двух различных корней x_1 и x_2 неверно.

Таким образом, уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.