ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1129 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте в одной системе координат графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \).
а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) расположен выше прямой \( y = x \) и при каких значениях \( x \) он расположен ниже этой прямой?

Функция \( y = \sqrt{x} \)

Функция \( y = x \)

Графики

На графике представлены:

• Кривая линия: \( y = \sqrt{x} \)
• Прямая линия: \( y = x \)

Анализ

а) Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).

б) График функции \( y = \sqrt{x} \):

• Расположен выше прямой \( y = x \) при \( x \in (0; 1) \).
• Расположен ниже прямой \( y = x \) при \( x \in (1; +\infty) \).

Постройте в одной системе координат графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \).

а) Укажите координаты их общих точек.

б) При каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) расположен выше прямой \( y = x \) и при каких значениях \( x \) он расположен ниже этой прямой?

Решение

1. Таблицы значений

Функция \( y = \sqrt{x} \)

Функция \( y = x \)

2. Общие точки графиков

Чтобы найти общие точки графиков, приравняем функции:

\[
\sqrt{x} = x
\]

Возведём обе стороны уравнения в квадрат:

\[
x = x^2
\]

Перенесём всё в одну сторону:

\[
x^2 — x = 0
\]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[
x(x — 1) = 0
\]

Решения уравнения:

• \( x = 0 \)
• \( x = 1 \)

Подставим значения \( x \) в любую из функций, например, \( y = x \):

• При \( x = 0 \): \( y = 0 \). Точка \( (0; 0) \).
• При \( x = 1 \): \( y = 1 \). Точка \( (1; 1) \).

Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).

3. Анализ расположения графиков

Рассмотрим, при каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) выше или ниже прямой \( y = x \):

• При \( x \in (0; 1) \): \( \sqrt{x} > x \), так как значения корня больше, чем самого числа.
• При \( x \in (1; +\infty) \): \( \sqrt{x} < x \), так как значения корня становятся меньше самого числа.

Ответ

а) Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).

б) График функции \( y = \sqrt{x} \):

• Расположен выше прямой \( y = x \) при \( x \in (0; 1) \).
• Расположен ниже прямой \( y = x \) при \( x \in (1; +\infty) \).