Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1129 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Постройте в одной системе координат графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \).
а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) расположен выше прямой \( y = x \) и при каких значениях \( x \) он расположен ниже этой прямой?
Функция \( y = \sqrt{x} \)
| x | 0 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
Функция \( y = x \)
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | 0 | 1 |
Графики
На графике представлены:
- Кривая линия: \( y = \sqrt{x} \)
- Прямая линия: \( y = x \)
Анализ
а) Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).
б) График функции \( y = \sqrt{x} \):
- Расположен выше прямой \( y = x \) при \( x \in (0; 1) \).
- Расположен ниже прямой \( y = x \) при \( x \in (1; +\infty) \).
Постройте в одной системе координат графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \).
а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) расположен выше прямой \( y = x \) и при каких значениях \( x \) он расположен ниже этой прямой?
Решение
1. Таблицы значений
Функция \( y = \sqrt{x} \)
| x | 0 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
Функция \( y = x \)
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | 0 | 1 |
2. Общие точки графиков
Чтобы найти общие точки графиков, приравняем функции:
\[
\sqrt{x} = x
\]
Возведём обе стороны уравнения в квадрат:
\[
x = x^2
\]
Перенесём всё в одну сторону:
\[
x^2 — x = 0
\]
Вынесем \( x \) за скобки:
\[
x(x — 1) = 0
\]
Решения уравнения:
- \( x = 0 \)
- \( x = 1 \)
Подставим значения \( x \) в любую из функций, например, \( y = x \):
- При \( x = 0 \): \( y = 0 \). Точка \( (0; 0) \).
- При \( x = 1 \): \( y = 1 \). Точка \( (1; 1) \).
Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).
3. Анализ расположения графиков
Рассмотрим, при каких значениях \( x \) график функции \( y = \sqrt{x} \) выше или ниже прямой \( y = x \):
- При \( x \in (0; 1) \): \( \sqrt{x} > x \), так как значения корня больше, чем самого числа.
- При \( x \in (1; +\infty) \): \( \sqrt{x} < x \), так как значения корня становятся меньше самого числа.
Ответ
а) Общие точки графиков: \( (0; 0) \), \( (1; 1) \).
б) График функции \( y = \sqrt{x} \):
- Расположен выше прямой \( y = x \) при \( x \in (0; 1) \).
- Расположен ниже прямой \( y = x \) при \( x \in (1; +\infty) \).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.