Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1109 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.
а) прямая \( y = x + 1 \) и гипербола \( y = \frac{2}{x} \);
б) прямая \( y = -2x — 2 \) и гипербола \( y = \frac{1}{x} \).
а)
\( x + 1 = \frac{2}{x} \cdot x \)
\( x^2 + x = 2 \)
\( x^2 + x — 2 = 0 \)
\( D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0 \)
\( \sqrt{D} = 3 \)
\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = 1 \)
\( x_2 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 1} = -2 \)
Если \( x = 1 \), то \( y = 1 + 1 = 2 \).
Если \( x = -2 \), то \( y = -2 + 1 = -1 \).
Ответ: \( (1; 2) \) и \( (-2; -1) \).
б)
\( -2x — 2 = \frac{1}{x} \cdot x \)
\( -2x^2 — 2x = 1 \)
\( -2x^2 — 2x — 1 = 0 \)
\( D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 4 — 8 < 0 \)
Ответ: нет точек пересечения.
Часть а)
Рассмотрим уравнения:
- Прямая: y = x + 1
- Гипербола: y = 2 / x
Приравняем их: x + 1 = 2 / x.
Умножим на x (при x ≠ 0):
x² + x — 2 = 0.
Решим квадратное уравнение:
- Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -2.
- Дискриминант: D = b² — 4ac = 1² — 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9.
- Корни:
- x₁ = (-1 + √9) / 2 = 1
- x₂ = (-1 — √9) / 2 = -2
Найдём соответствующие значения y:
- При x = 1: y = x + 1 = 1 + 1 = 2.
- При x = -2: y = x + 1 = -2 + 1 = -1.
Ответ: точки пересечения — (1; 2) и (-2; -1).
Часть б)
Рассмотрим уравнения:
- Прямая: y = -2x — 2
- Гипербола: y = 1 / x
Приравняем их: -2x — 2 = 1 / x.
Умножим на x (при x ≠ 0):
-2x² — 2x — 1 = 0.
Рассчитаем дискриминант:
- Коэффициенты: a = -2, b = -2, c = -1.
- Дискриминант: D = b² — 4ac = (-2)² — 4(-2)(-1) = 4 — 8 = -4.
Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: точек пересечения нет.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.