ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1026 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) верно неравенство:

a) \(ac + \frac{b}{c} \geq 2\sqrt{ab}\);

б) \(\left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \geq 8.\)

a)
\[ ac + \frac{b}{c} \geq 2\sqrt{ab} \]
\[\frac{ac^2 + b}{c} \geq 2\sqrt{ab}\]
\[ac^2 + b \geq 2c\sqrt{ab}\]
\[ac^2 + b \geq 2\sqrt{abc^2}\]
\[\frac{ac^2 + b}{2} \geq \sqrt{abc^2}\]
Доказано.

б)
\[\left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \geq 8\]
\[1 + \frac{a^2}{bc} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}\]
\[1 + \frac{b^2}{ac} \geq 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}}\]
\[1 + \frac{c^2}{ab} \geq 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\]

Умножим:
\[\left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} \cdot 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} \cdot 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\]
\[\geq 8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{abc^2}}\]
\[\geq 8\]
Доказано.

Часть (а):

Имеем неравенство:

\( ac + \frac{b}{c} \geq 2\sqrt{ab} \)

Шаг 1. Умножим обе части неравенства на \( c \), чтобы избавиться от дроби:

\( c \cdot \left( ac + \frac{b}{c} \right) \geq c \cdot 2\sqrt{ab} \)

Получаем:

\( ac^2 + b \geq 2c\sqrt{ab} \)

Шаг 2. Далее мы видим, что \( 2c\sqrt{ab} \) можно переписать как \( 2\sqrt{abc^2} \):

\( ac^2 + b \geq 2\sqrt{abc^2} \)

Шаг 3. Разделим обе части неравенства на 2:

\( \frac{ac^2 + b}{2} \geq \sqrt{abc^2} \)

Это и есть доказательство исходного неравенства.

Часть (б):

Имеем неравенство:

\( \left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \geq 8 \)

Шаг 1. Для каждого множителя применим неравенство Ам-Гм (неравенство средних). Начнем с первого множителя:

\( 1 + \frac{a^2}{bc} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} \)

Для второго множителя:

\( 1 + \frac{b^2}{ac} \geq 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} \)

Для третьего множителя:

\( 1 + \frac{c^2}{ab} \geq 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} \)

Шаг 2. Умножим все эти неравенства:

\( \left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} \cdot 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} \cdot 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} \)

Шаг 3. Упростим правую часть:

\( \geq 8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{abc^2}} \)

Шаг 4. Упростим подкоренное выражение:

\( \geq 8 \)

Это и есть доказательство.