ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1016 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли неравенство:
a) \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}\);
б) \(4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}\)?

a) \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}\)
\((\sqrt{7} + 2\sqrt{5})^2 < (2 + \sqrt{35})^2\)
\(7 + 4\sqrt{35} + 20 < 4 + 4\sqrt{35} + 35\)
\(27 + 4\sqrt{35} < 39 + 4\sqrt{35}\), верно, т.к. \(27 < 39\).

б) \(4\sqrt{6} + 2 < 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}\)
\((4\sqrt{6} + 2)^2 < (2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})^2\)
\(96 + 16\sqrt{6} + 4 < 12 + 16\sqrt{6} + 32\)
\(100 + 16\sqrt{6} < 44 + 16\sqrt{6}\), неверно, т.к. \(100 > 44\).

Часть a: \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}\)

Возведем обе части неравенства в квадрат:

\((\sqrt{7} + 2\sqrt{5})^2 < (2 + \sqrt{35})^2\)

Раскроем скобки:

Левая часть: \((\sqrt{7} + 2\sqrt{5})^2 = 7 + 4\sqrt{35} + 20 = 27 + 4\sqrt{35}\)

Правая часть: \((2 + \sqrt{35})^2 = 4 + 4\sqrt{35} + 35 = 39 + 4\sqrt{35}\)

Сравним выражения:

\(27 + 4\sqrt{35} < 39 + 4\sqrt{35}\)

Здесь \(4\sqrt{35}\) сокращается, остается:

\(27 < 39\), что верно.

Часть b: \(4\sqrt{6} + 2 < 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}\)

Возведем обе части неравенства в квадрат:

\((4\sqrt{6} + 2)^2 < (2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})^2\)

Раскроем скобки:

Левая часть: \((4\sqrt{6} + 2)^2 = 96 + 16\sqrt{6} + 4 = 100 + 16\sqrt{6}\)

Правая часть: \((2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})^2 = 12 + 16\sqrt{6} + 32 = 44 + 16\sqrt{6}\)

Сравним выражения:

\(100 + 16\sqrt{6} < 44 + 16\sqrt{6}\)

Здесь \(16\sqrt{6}\) сокращается, остается:

\(100 < 44\), что неверно.