Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 916 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если р – простое число, большее трёх, то значение выражения р2 − 1 кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р2 − 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
\( p > 3 \), \( p \) — простое число. Рассмотрим \( p^2 — 1 \).
1) Примеры:
— Пусть \( p = 7 \):
\( 7^2 — 1 = 49 — 1 = 48 \) — верно, так как 48 делится на 12 (\( 48 : 12 = 4 \)).
— Пусть \( p = 11 \):
\( 11^2 — 1 = 121 — 1 = 120 \) — верно, так как 120 делится на 12 (\( 120 : 12 = 10 \)).
— Пусть \( p = 13 \):
\( 13^2 — 1 = 169 — 1 = 168 \) — верно, так как 168 делится на 12 (\( 168 : 12 = 14 \)).
2) Разложение:
\( p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1) \).
— Так как \( p > 3 \), \( p \) — простое число, то \( p \) — нечётное число.
Значит, выражение будет чётным.
Получаем: \( (p — 1) \) и \( (p + 1) \) кратны 2, то их произведение будет кратно 4.
3) Делимость на 3:
— Так как \( p > 3 \), \( p \) — простое число, то \( p \) — нечётное число.
Значит, \( p \) не делится на 3.
Тогда либо \( (p — 1) \), либо \( (p + 1) \) делится на 3.
4) Вывод:
Выражение делится на 12, так как оно делится и на 3, и на 4.
1. Проверка утверждения на конкретных примерах
Пример 1: Пусть \( p = 7 \)
Вычислим: \( p^2 — 1 = 7^2 — 1 = 49 — 1 = 48 \). Проверим делимость:
- \( 48 \div 12 = 4 \) — делится на 12.
Утверждение верно.
Пример 2: Пусть \( p = 11 \)
Вычислим: \( p^2 — 1 = 11^2 — 1 = 121 — 1 = 120 \). Проверим делимость:
- \( 120 \div 12 = 10 \) — делится на 12.
Утверждение верно.
Пример 3: Пусть \( p = 13 \)
Вычислим: \( p^2 — 1 = 13^2 — 1 = 169 — 1 = 168 \). Проверим делимость:
- \( 168 \div 12 = 14 \) — делится на 12.
Утверждение верно.
2. Разложение многочлена \( p^2 — 1 \) на множители
Разложим выражение:
\( p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1) \).
Так как \( p > 3 \), \( p \) — простое число, то \( p \) — нечётное.
Следовательно, \( (p — 1) \) и \( (p + 1) \) — два последовательных чётных числа. Их произведение кратно 4.
3. Делимость произведения на 3
Так как \( p > 3 \), \( p \) — простое число, то \( p \) не делится на 3.
Однако одно из чисел \( (p — 1) \) или \( (p + 1) \) обязательно делится на 3, так как они расположены рядом с \( p \).
Следовательно, произведение \( (p — 1)(p + 1) \) делится на 3.
4. Вывод
Выражение \( p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1) \) кратно 12, так как оно делится и на 4, и на 3.
Алгебра
