ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 715 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значение n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.

a) Выражение кратно 6.

б) Выражение кратно 12.

a)

Дано выражение:

n(n + 5) — (n — 3)(n + 2)

Раскрываем скобки для первого множителя:

n(n + 5) = n² + 5n

Раскрываем скобки для второго множителя:

(n — 3)(n + 2) = n² + 2n — 3n — 6 = n² — n — 6

Подставляем всё в исходное выражение:

n² + 5n — (n² — n — 6)

Убираем скобки, изменяя знаки у второго выражения:

n² + 5n — n² + n + 6

Приводим подобные члены:

n² — n² + 5n + n + 6 = 6n + 6

Вынесем общий множитель:

6n + 6 = 6(n + 1)

Вывод: Так как множитель 6 делится на 6, то значение всего выражения кратно 6.

б)

Дано выражение:

(n — 1)(n + 1) — (n — 7)(n — 5)

Раскрываем скобки для первого множителя:

(n — 1)(n + 1) = n² — 1

Раскрываем скобки для второго множителя:

(n — 7)(n — 5) = n² — 5n — 7n + 35 = n² — 12n + 35

Подставляем всё в исходное выражение:

n² — 1 — (n² — 12n + 35)

Убираем скобки, изменяя знаки у второго выражения:

n² — 1 — n² + 12n — 35

Приводим подобные члены:

n² — n² + 12n — 1 — 35 = 12n — 36

Вынесем общий множитель:

12n — 36 = 12(n — 3)

Вывод: Так как множитель 12 делится на 12, то значение всего выражения кратно 12.

Ответы:

a) Выражение кратно 6.

б) Выражение кратно 12.