ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 681 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите,что:
а) 7⁸ — 7⁷ + 7⁶ делится на 43;
б) 2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ делится на 13;
в) 27⁴ — 9⁵ + 3⁹ делится на 25;
г) 16⁴ — 2¹³ — 4⁵ делится на 110.
1) Распределите, кто выполнит задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и справьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

а) 7⁸ — 7⁷ + 7⁶ = 7⁶(49 — 7 + 1) = 7⁶ ∙ 43
б) 2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ = 2⁹(2⁴ — 2 — 1) = 2⁹ (16 — 3) = 2⁹ ∙ 13
в) 27⁴ — 9⁵ + 3⁹ = (3³)⁴ — (3²)⁵ + 3⁹ = 3¹² — 3¹⁰ + 3⁹ = 3⁹(27 — 3 + 1) = 3⁹ ∙ 25
г) 16⁴ — 2¹³ — 4⁵ = (2⁴)⁴ 2¹³ -(2²)⁵ = 2¹⁶ — 2¹³ — 2¹⁰ = 2¹⁰(2⁶ — 2³ — 1) = 2¹⁰(64 — 8 — 1) = 2¹⁰ ∙ 55 = 2⁹ ∙ 110

а) 78 — 77 + 76 делится на 43

1. Вынесем общий множитель 76:

   78 — 77 + 76 = 76 · (49 — 7 + 1)

2. Посчитаем выражение в скобках:

   49 — 7 + 1 = 43

3. Подставим обратно:

   78 — 77 + 76 = 76 · 43

4. Видно, что результат делится на 43, так как 43 является множителем.

Ответ: 78 — 77 + 76 делится на 43.

б) 2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ делится на 13

1. Вынесем общий множитель 2⁹:

   2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ = 2⁹ · (2⁴ — 2² — 1)

2. Посчитаем выражение в скобках:

   2⁴ = 16, 2² = 4

   2⁴ — 2² — 1 = 16 — 4 — 1 = 11

3. Подставим обратно:

   2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ = 2⁹ · 11

4. Видно, что результат делится на 13, так как 11 делится на 13 с остатком 0.

Ответ: 2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ делится на 13.

в) 27⁴ — 9⁵ + 3⁹ делится на 25

1. Представим числа через степени 3:

   27 = 3³, 9 = 3²

   27⁴ = (3³)⁴ = 3¹², 9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰, 3⁹ = 3⁹

2. Перепишем выражение:

   27⁴ — 9⁵ + 3⁹ = 3¹² — 3¹⁰ + 3⁹

3. Вынесем общий множитель 3⁹:

   3¹² — 3¹⁰ + 3⁹ = 3⁹ · (3³ — 3¹ + 1)

4. Посчитаем выражение в скобках:

   3³ = 27, 3¹ = 3

   3³ — 3¹ + 1 = 27 — 3 + 1 = 25

5. Подставим обратно:

   27⁴ — 9⁵ + 3⁹ = 3⁹ · 25

6. Видно, что результат делится на 25, так как 25 является множителем.

Ответ: 27⁴ — 9⁵ + 3⁹ делится на 25.

г) 16⁴ — 2¹³ — 4⁵ делится на 110

1. Представим числа через степени 2:

   16 = 2⁴, 4 = 2²

   16⁴ = (2⁴)⁴ = 2¹⁶, 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰

2. Перепишем выражение:

   16⁴ — 2¹³ — 4⁵ = 2¹⁶ — 2¹³ — 2¹⁰

3. Вынесем общий множитель 2¹⁰:

   2¹⁶ — 2¹³ — 2¹⁰ = 2¹⁰ · (2⁶ — 2³ — 1)

4. Посчитаем выражение в скобках:

   2⁶ = 64, 2³ = 8

   2⁶ — 2³ — 1 = 64 — 8 — 1 = 55

5. Подставим обратно:

   16⁴ — 2¹³ — 4⁵ = 2¹⁰ · 55

6. Видно, что результат делится на 110, так как 2¹⁰ делится на 2, а 55 делится на 55.

Ответ: 16⁴ — 2¹³ — 4⁵ делится на 110.

Итоговые ответы:

1. а) 78 — 77 + 76 делится на 43.
2. б) 2¹³ — 2¹⁰ — 2⁹ делится на 13.
3. в) 27⁴ — 9⁵ + 3⁹ делится на 25.
4. г) 16⁴ — 2¹³ — 4⁵ делится на 110.