Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1227 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Пусть первое число будет \( (x — 2) \), второе — \( (x — 1) \), третье — \( x \), четвертое — \( (x + 1) \) и пятое — \( (x + 2) \).
\((x — 2)^2 + (x — 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 =\)
\(x^2 — 4x + 4 + x^2 — 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 =\)
\(5x^2 + 10 = 5(x^2 + 2).\)
Чтобы выражение \( 5(x^2 + 2) \) было квадратом натурального числа, нужно чтобы \( (x^2 + 2) \) было нечетной степенью числа 5.
\( x^2 + 2 = 5 \)
\( x^2 = 5 + 2 \)
\( x^2 = 7 \) — дробное решение;
\( x^2 + 2 = 5^3 \)
\( x^2 + 2 = 125 \)
\( x^2 = 125 + 2 \)
\( x^2 = 127 \) — дробное решение.
Значит, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Доказательство:
Пусть пять последовательных чисел: \( (x — 2), (x — 1), x, (x + 1), (x + 2) \).
Сумма их квадратов:
(x — 2)^2 + (x — 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2
\]
Раскроем скобки и упростим выражение:
= (x^2 — 4x + 4) + (x^2 — 2x + 1) + x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4)
\]
= x^2 — 4x + 4 + x^2 — 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4
\]
= 5x^2 + 10
\]
Предположим, что это выражение является квадратом натурального числа, то есть:
5x^2 + 10 = k^2
\]
Рассмотрим выражение \( 5(x^2 + 2) = k^2 \). Чтобы это было возможно, \( x^2 + 2 \) должно быть нечетной степенью числа 5, поскольку 5 является простым числом.
Рассмотрим возможные значения:
- Если \( x^2 + 2 = 5 \), то \( x^2 = 3 \), что не является квадратом натурального числа.
- Если \( x^2 + 2 = 125 \) (то есть \( 5^3 \)), то \( x^2 = 123 \), что также не является квадратом натурального числа.
Таким образом, ни для каких значений \( x \) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Заключение:
Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Отдавайте приоритет не «шпаргалкам» с сухим итогом, а развернутым пошаговым решениям, которые помогают понять логику и уверенно применять метод в похожих заданиях — именно такие разборы собраны на этой странице. Материалы SmartGDZ подготовлены опытными педагогами, оформлены понятно и последовательно и полностью соответствуют действующим образовательным стандартам.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!