Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1225 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что p² — 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.
\( p^2 — 1 \), где \( p \) — простое число, \( p > 3 \).
\( p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1) \)
Значит \((p — 1)\) и \((p + 1)\) — два последовательных четных числа. Тогда они делятся на 2, а одно из них точно делится на 4.
Так как \((p — 1)\), \(p\) и \((p + 1)\) — три последовательных числа, при этом \( p \) — простое число и больше 3, то число \( p \) не делится на 3, значит одно из чисел \((p — 1)\) и \((p + 1)\) точно делятся на 3.
Получаем, \( 8 \cdot 3 = 24 \).
Значит \( p^2 — 1 \) кратно 24.
\( p \) — простое число, \( p > 3 \).
Доказательство:
Рассмотрим выражение:
p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1)
\]
Заметим, что \((p — 1)\) и \((p + 1)\) — два последовательных четных числа. Это означает, что:
- Оба числа делятся на 2.
- Одно из этих чисел точно делится на 4, так как среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4.
Теперь рассмотрим числа \((p — 1)\), \(p\) и \((p + 1)\) как три последовательных числа:
- Так как \( p \) — простое число и больше 3, оно не делится на 3.
- Поэтому одно из чисел \((p — 1)\) или \((p + 1)\) обязательно делится на 3.
Таким образом, произведение \((p — 1)(p + 1)\) делится на:
- 2, так как оба числа четные.
- 4, так как одно из них делится на 4.
- 3, так как одно из них делится на 3.
Следовательно, \((p — 1)(p + 1)\) делится на \(2 \times 4 \times 3 = 24\).
Заключение:
Таким образом, мы доказали, что \( p^2 — 1 \) кратно 24, если \( p \) — простое число, большее 3.
Алгебра
